Artur Avila tem um problema *

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A bordo de um avião da United Airlines para Nova York, o matemático Welington de Melo pediu um copo de vinho. Seu companheiro de viagem, Artur Avila, pediu outro. A aeromoça desconfiou: “Que idade você tem?” Artur tinha 19 anos, com jeito de menos, e ficou sem o vinho. Era a sua primeira viagem profissional. Havia sido confiado aos cuidados de seu orientador de doutorado, mas, em terra, sua mãe ainda não se tranquilizara inteiramente com a decisão de deixá-lo partir para os Estados Unidos.[1]

Sob lei seca, Artur desembarcou no aeroporto JFK e seguiu com Melo para a Universidade de Stony Brook, no litoral norte de Long Island, a cerca de cem quilômetros dali. Corria o ano de 1999. Os dois iam ao encontro de Mikhail Lyubich, codiretor do Institute for Mathematical Sciences, centro de excelência em pesquisa matemática. Lyubich vinha da Ucrânia, onde a reputação de matemático brilhante não o livrara dos obstáculos pequenos e grandes de um judeu na antiga União Soviética. Mantido longe dos grandes centros acadêmicos do país, fora descoberto por um colega americano e emigrara para os Estados Unidos, onde agora integrava a direção do IMS. O encontro havia sido combinado meses antes, quando Lyubich, a convite de Melo, viera ao Rio participar de uma conferência no Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, o Impa.

Ao receber os brasileiros em Stony Brook, Lyubich acabava de escrever uma série de artigos em que provava os seus achados mais importantes. “Pouquíssimas pessoas compreendiam de fato do que se tratava”, comentou recentemente, “e Welington era uma notável exceção. Foi dele a proposta de que o Artur explorasse essa linha de pesquisa.” Melo, na época com 53 anos, havia se doutorado em 1972, e Lyubich, então com 40 anos, obtivera o PhD em 1984. Artur, nascido em 1979, era um estudante ainda à cata de um bom problema para sua tese de doutorado. Até a véspera, chegava ao Impa levado pela mãe, Lenir, que achava mais prático esperar por ali do que voltar para buscá-lo.

Os representantes das três gerações passaram um mês jogando ideias de lá para cá, num estilo de fazer matemática que só pede um quadro-negro, giz e espaço para andar de um lado para o outro. As conversas, diárias, aconteciam nas salas do instituto, na casa de Lyubich, em restaurantes ou durante as caminhadas pelos bosques em torno da universidade. A colaboração entre eles era possível porque a matemática é refratária a hierarquias. “A prova é a prova”, diz Artur, referindo-se ao caráter irrefutável da verdade. Um jovem que acaba de chegar pode falar de igual para igual com gente já estabelecida. Ou mais que isso: “Volta e meia, assombrado, eu percebia que o Lyubich e eu estávamos um pouco atrás do Artur”, lembra Melo. “Ele era tão jovem… Eu me esquecia disso e tomava um susto.”

Um dia ele e Artur foram a Nova York ouvir a palestra de um matemático. No Village, bairro conhecido pela fartura de restaurantes, saíram atrás de um lugar para comer. Melo se lembra da impossibilidade de conciliar os gostos: “Eu perguntava: ‘E esse coreano, Artur?’, e ele respondia: ‘Nunca provei.’ ‘Esse italiano?’ ‘Não conheço.’ Imagine, não conhecer comida italiana. O Artur acabou almoçando no McDonald’s. Ele sabia pouca coisa do mundo.”

Ao cabo de um mês de intensas discussões, o trio divisava uma estratégia clara para resolver o problema que os absorvia, mas a prova ainda não estava ao alcance. Havia um obstáculo que se recusava a ceder. Lyubich e Melo decidiram deixá-lo nas mãos do garoto. “Isso foi em março”, lembra Artur. “Fiquei com o problema na cabeça e uns meses depois, em setembro ou outubro, tive uma ideia esquisita.”

Um teorema não pode ser desfeito, escreveu o grande matemático inglês G. H. Hardy. A matemática é a única ciência que lida com a verdade, o que se comprova em qualquer biblioteca: a literatura matemática é perene, enquanto a das outras ciências se torna rapidamente obsoleta. Dois mil anos de história não acrescentaram uma ruga ao teorema de Pitágoras. Salvo por interesse histórico, ninguém mais estuda o sistema solar de Ptolomeu. Já Euclides continua de pé. A matemática funciona por acúmulo, e não por substituição.

A validade permanente das verdades matemáticas se relaciona com o fato de ela estar apartada do mundo real, fora do tempo e das circunstâncias do universo. O matemático e filósofo francês Henri Poincaré escreveu que a descoberta matemática é o processo mental que menos toma de empréstimo elementos do mundo exterior. A mente se alimenta da mente. O início clássico de um tratado de geometria diz: “Vamos considerar três sistemas de coisas. As coisas que compõem o primeiro sistema nós as chamaremos de pontos; o segundo, de linhas; o terceiro, de planos.” Coisas. A matemática obriga a lidar com os objetos mais remotos e inumanos que a mente dos homens já concebeu, diz o belga David Ruelle.

Artur Avila, 30 anos, barba sempre por fazer, doutor em matemática pelo Impa, vive entre a França e o Brasil. Em Paris, trabalha no Centre National de la Recherche Scientifique, o CNRS, instituto estatal de fomento à pesquisa. No Rio, é pesquisador do Impa. Vem acumulando prêmios cada vez mais importantes. Os grandes centros de pesquisa matemática do mundo convocam a sua presença e muitos gostariam de contratá-lo. Quando um não iniciado pede que ele explique o que faz, Artur coça os olhos. “O meu trabalho é um pouco difícil de explicar. Eu estudo a estrutura de operadores. Faz sentido, operadores? Operador é uma matriz infinita e simétrica. Esse operador tem um espectro…”

E assim vai, mas ninguém precisa se sentir constrangido. É comum os matemáticos não compreenderem o que um colega faz. Existe um trabalho de um vietnamita de 37 anos, Ngô Bâo Châu, parado há mais de um ano na mesa do editor-chefe de uma prestigiosa revista de matemática. As implicações do artigo parecem ser formidáveis, mas todos os especialistas consultados para referendar a publicação disseram-se incompetentes para atestar se está correto ou não.

Carlos Gustavo Tamm Moreira, conhecido como Gugu, colega e colaborador de Artur, um sujeito bonachão de 36 anos que distribui sua paixão entre a matemática, o Flamengo e o Partido Comunista, conta uma anedota de quando se candidatou a vereador pelo PCB. O programa eleitoral lhe dava 18 segundos para se apresentar ao público. Acelerando a toada, ele metralhava: “Olá, eu sou o Gugu, candidato a vereador pelo Partidão com o número 21603. O meu trabalho vocês já conhecem: eu provei que as interseções estáveis de conjuntos de Cantor regulares são densas na região onde a soma das dimensões de Hausdorff é maior do que 1.” É uma brincadeira, mas traduz a natureza rarefeita do mundo habitado por matemáticos.

A física estuda o mundo natural; a biologia, os organismos vivos. São ciências cujo objeto está ao alcance da compreensão do leigo. A matemática é um pouco diferente, embora imaginemos conhecê-la. Ela seria aquilo que aprendemos na escola – aritmética, geometria, álgebra, análise combinatória –, apenas levado às últimas consequências. Em teoria, a proposição não está errada. Na prática, a diferença entre a matemática da escola e a dos centros de pesquisa se mede não em graus de complexidade, mas em saltos de qualidade, como se a matéria dos bancos escolares fosse a lagarta e a alta matemática, a borboleta. Imagine-se alguém que jamais tivesse visto a segunda. Para essa pessoa, seria impossível, da lagarta, intuir a borboleta. Essa pessoa somos todos nós, os não matemáticos.

O trabalho de Artur é pensar borboletas. No seu vocabulário, elas são chamadas de objetos – infinitos, complexos, caóticos, únicos, imensos, previsíveis, prováveis, elegantes, belos, monstruosos. Esses adjetivos, todos eles, integram o léxico dos matemáticos, alguns com uso preciso e técnico, outros como recurso para descrever atividades do espírito. Os objetos só existem como coisa mental. Ninguém sabe onde habitam. Os matemáticos ainda não chegaram à conclusão se o que fazem é inventar ou descobrir os seus objetos. “Onde está tanta ordem?”, é a maneira como Artur formula a questão, que de resto não lhe interessa responder por não ser um problema matemático.

A moeda corrente da matemática é o que alguns chamam de crédito-teorema, que serve para valorar a quantidade e a qualidade dos problemas resolvidos. Por essa conta, na geração de Artur, pouquíssimos matemáticos acumularam tantos pontos. De janeiro a novembro do ano passado, ele produziu no mínimo seis grandes trabalhos. Na Califórnia, decidiu enfrentar um problema surgido em 1964 e popularizado em 1980, depois que um físico prometeu dez martínis a quem o solucionasse. Em colaboração com uma colega ucraniana, Artur encontrou a prova do que ficara conhecido na literatura como “o problema dos dez martínis”. Na mesma semana em que demonstrou ser falsa uma conjectura na qual matemáticos vinham trabalhando havia anos, teve uma iluminação que lhe permitiu avançar significativamente num de seus projetos mais ambiciosos: construir, sozinho, a teoria geral de um problema nascido na física.

Artur, como vários matemáticos formados no Impa, trabalha com sistemas dinâmicos, área que investiga as leis de processos que evoluem no tempo. Surgiu com os estudos de Newton sobre o movimento dos planetas. Hoje, teoremas de sistemas dinâmicos são ferramentas para descrever a evolução de epidemias, provar que toda previsão meteorológica de mais de cinco ou seis dias vale tanto quanto uma moeda lançada no ar ou descrever impactos demográficos produzidos por essa ou aquela mudança de parâmetro. Tome-se uma população de lobos. Se existem poucos espécimes, haverá fartura de comida e a população crescerá. Inversamente, um número grande de lobos produzirá escassez de alimentos e decréscimo da população. O sistema dinâmico descreverá a maneira como essa população progride: trata-se de saber, a partir das condições do presente, o que esperar do futuro.

Muitas vezes o que se espera é a regularidade. Uma bola lançada numa cuia estacionará no fundo. Um pêndulo oscilará entre dois pontos. Sistemas com um número finito de estados, que repetem padrões, são chamados de regulares. Existem sistemas dinâmicos que se comportam de maneira mais interessante, e estes constituem a especialidade do Impa. A princípio, eles evoluem de maneira previsível. Subitamente, porém, de maneira violenta, deixam de ter um padrão reconhecível e se tornam irregulares. São sistemas extraordinariamente sensíveis a pequenas discrepâncias iniciais. A sabedoria popular diz: “Por falta de um prego, perdeu-se a ferradura; por falta de uma ferradura, perdeu-se o cavalo; por falta do cavalo, perdeu-se o cavaleiro; por falta do cavaleiro, perdeu-se a batalha; por falta da batalha, perdeu-se o reino.” Sistemas dinâmicos preveem o impacto do prego sobre a instabilidade do reino.

Quando o comportamento de um sistema deixa de apresentar qualquer padrão, ele é chamado de caótico. Caos pode significar muitas coisas. No caso, é um conceito que exprime tudo o que não se pode saber sobre o futuro. Na ausência de certezas, descreve-se, com detalhamento infinito, como o sistema se modificará: até este ponto ele evoluirá de maneira regular, oscilando entre tais e quais estados; a partir deste ponto será caótico, apresentando estas e aquelas características.

A fumaça do cigarro sobe como uma fina coluna até que, por razões que independem da brisa ou do movimento da mão, ela se esgarça e passa a formar arabescos de trajetória imprevisível. É uma boa imagem para um sistema complexo que evolui da regularidade para o caos. Tomando-se a primeira molécula de fumaça saída do cigarro, pode-se prever sem dificuldade qual será sua posição futura dali a um segundo. Dali a dez segundos, porém, a molécula terá se esgarçado, e será impossível antecipar onde estará.

Lyubich, Melo e Avila são dinamicistas da não regularidade, especialistas em caos. Haviam se reunido em Stony Brook para estudar uma determinada classe de sistemas de características caóticas. Não estavam preocupados com lobos nem pêndulos. Trabalhavam apenas com modelos matemáticos, mas, por analogia, era como se quisessem compreender a região acima do ponto de dissipação da fumaça. O que acontecia ali?

Usavam uma técnica matemática que permite penetrar, como um batiscafo, nas mais ínfimas estruturas desse espaço. Tomavam um pequeno intervalo da região dos arabescos e o colocavam sob um microscópio puramente lógico. O espaço se ampliava, como um zoom do Google Earth. Ao analisar a ampliação, viam que, dentro da desordem, cercadas de caos por todos os lados, havia pequenas áreas de ordem – pequenas colunas regulares de fumaça, por assim dizer. Punham então esse mínimo espaço ocupado pela coluna regular no microscópio e de novo, ao ampliá-lo, encontravam outra vez, por toda parte, fumaça sem forma entremeada por minúsculas ocorrências de fiapos regulares.

Seguiram assim, nesse mergulho vertiginoso por intervalos cada vez menores. Não era novidade que, ao tomar qualquer ponto de um espaço caótico, perto dele sempre se acharia uma janela de ordem. Mas os espaços regulares e caóticos – ou estocásticos, como preferem os matemáticos – aparecem intercalados de maneira complexa, e o que os três fizeram foi mostrar a universalidade dessa organização. Descobriram a lei que rege o comportamento de toda uma classe de sistemas que evoluem para o caos, como se a descrição da fumaça explicasse também a transformação das nuvens, o percurso de um galho na cachoeira ou o giro das folhas num vendaval.

Em janeiro de 2009, dez anos depois de Stony Brook, Artur acordou de madrugada no apartamento do Leblon que comprou com sua mulher, a economista Susan Schommer, uma moça gaúcha que faz pós-doutorado no Impa. “E agora? Tento dormir de novo ou penso um pouco?” Decidiu pensar. Ficou ali, no escuro, olhando para o teto. Do lado de fora, os últimos foliões de algum bloco pré-carnavalesco se arrastavam pela rua, cantando e caindo. Do lado de dentro, nada além de um homem parado na cama, de olhos abertos, ao lado da mulher que dormia.

Contudo, havia movimento. Sem se mexer, Artur começou a girar objetos matemáticos na cabeça, como alguém que contorna uma estátua para vê-la de todos os ângulos. Estava retomando um problema que deixara de lado seis anos antes, por não saber como prosseguir. “Fiquei pensando de maneira gentil”, ele conta. Era um pensamento meio à deriva, sem âncora: “Eu tinha dois objetos, mas não sabia como um se relacionava com o outro. Tinha batido num muro.” Até aquela madrugada, ele só vira o objeto como duas partes isoladas, sem encaixe. De repente, veio: “Mas se eu mudo a perspectiva, ele se revela como isso. Ele é isso. Posso seguir adiante.” A sensação era a mesma de quem se concentra nas formas esfaceladas de um quadro cubista e, dando um passo para trás, quem sabe outro para o lado, consegue finalmente recompor a figura – ali está a mulher, o violão e a partitura. Tudo é uma coisa só.

Ainda no escuro, Artur começou a calcular as consequências do seu novo ponto de vista e percebeu que conseguia produzir muito mais informação. “A narrativa já tinha engordado”, explica. Seu objeto, que até então não revelara muito de si, começou a gerar histórias cada vez mais fantásticas, como se ele tivesse encontrado o segredo daquelas caixinhas de surpresa hermeticamente fechadas que, a um golpe certeiro, abrem-se num festival de bandeirinhas, bonecos de mola e música de circo. Artur ficou excitado, mas voltou a dormir. “Nem anotei, não tenho medo de esquecer as minhas intuições.”

No dia seguinte, decidiu “atacar o objeto por todos os lados” – o vocabulário dos matemáticos é pródigo em metáforas bélicas. “Foram dez dias, dezoito horas por dia. Tecnicamente, era muito difícil, mas a ideia estava lá.” Passava o dia andando em círculos no apartamento. Volta e meia parava, olhava para o teto, fazia uns riscos no papel para ajudar o raciocínio. “A maior parte do trabalho acontece na cabeça. A sensação é de absorção total. Me lembro de abrir um espumante que estava na geladeira. A rolha explodiu, o vinho começou a escorrer e eu não agia, ficava só olhando aquilo e pensando: ‘Não era pra ele estar escorrendo, normalmente isso não acontece…’”

A cada momento, coisas cada vez mais improváveis aconteciam com o objeto – exatamente o que Artur desejava. Ele buscava uma prova por contradição: se estivesse errado, o objeto era monstruoso, “coisas horrorosas aconteciam com ele”. Objetos matemáticos podem ser fáceis de visualizar (um círculo) ou muito complexos (aqueles com os quais Artur quase sempre trabalha), mas, para existir, todos precisam ser dotados de uma característica: ser lógicos. Objeto horroroso é aquele que revela características que acabam por anulá-lo, como se possuísse uma anomalia genética tão grave que tornasse a vida impossível.

“Continuei assim até encontrar uma contradição. Depois de uma semana de trabalho, a prova por absurdo estava feita. Minha conjectura era verdadeira.” Artur acabava de dar um passo significativo para solucionar um problema que se originara na física: a equação de operadores de Schrödinger quase-periódicos – aquilo que tentou explicar depois de um longo silêncio. Até então, tinha-se uma compreensão parcial do problema. Ele intuiu a possibilidade de empregar sistemas dinâmicos para entendê-lo globalmente.

Artur costuma acordar por volta do meio-dia. Trabalha muito na cama e preza o tempo morto. Acha que transporte público é um ótimo lugar para fazer matemática, uma das razões pelas quais não gosta de carros. Já teve ótimas ideias nos longos trajetos do metrô parisiense. Em 2008, durante um voo Rio–Paris, decidiu pegar um problema com o qual andava brigando há dois anos. “Acho que foi entre um filme e outro daquela televisãozinha”, diz. Foi girando as coisas na cabeça e, surpreso, viu que a complexidade se reduzia a uma expressão simples. Quando o avião pousou no aeroporto Charles de Gaulle, tinha resolvido o problema – descobrira mais uma peça do quebra-cabeça de Schrödinger.

Artur prefere “fazer conta de cabeça” – e por “conta” não se entenda tábuas de multiplicação, mas construção de ideias, geografias mentais com vales, picos, dobras, abismos, descontinuidades. “Papel é força bruta. Na cabeça não dá pra manipular objetos muito grandes, e isso me obriga a fazer contas mais simples”, explica. Ele isola as características que mais lhe interessam e descarta o acessório: “Faço uma caricatura do objeto.”

Seu pensamento alterna expressões formais com palavras do dia a dia. “Num paper que escrevi com o Gugu, a gente classificou os objetos como objetos bons, muito bons, excelentes e, quando os excelentes tinham algumas características a mais e se tornavam os melhores objetos possíveis, eram objetos cool.”

Também existe “o lado negro”, um lugar onde “você encontra coisas horríveis, particularmente detestáveis, que violam a tua capacidade de compreensão”. Um problema se transforma numa geografia dividida em regiões maçantes, paraísos e infernos. Nos lugares maçantes, todo comportamento é regular. É a Suíça. Nos paraísos, acontecem coisas interessantes e inesperadas. No inferno as provas falham, e é preciso mostrar que tudo lá desaparece, como em Hiroshima. (assinantes podem ler o resto do perfil aqui).